TUGAS MANDIRI 2 – MATEMATIKA DISKRIT 1 KAMPUS ITBI MILENIAL

Nama       : IDE KRISTIANI ZEGA

Jurusan   : TEKNIK INFORMATIKA S1

Kelas       : PAGI

1.      5 CONTOH SOAL ALJABAR BOOLEAN DAN PENYELESAIANNYA

 

1)     Temukan ekspresi Aljabar Boolean untuk sistem berikut.

Jawab :

Untuk sistem diatas terdiri dari Gerbang AND, Gerbang NOR dan Gerbang OR, ekspresi untuk gerbang AND adalah A.B, dan ekspresi untuk gerbang NOR adalah A+B. dari kedua ekspresi ini memiliki input yang terpisah ke gerbang OR yang didefinisikan sebagai A+B. jadi ekspresi keluaran akhir adalah sebagai berikut :

Output pada Q yaitu Q = (A.B) + (A+B), tetapi notasinya sama seperti notasi De’Morgan A.B maka notasi A.B diganti kedalam ekspresi output sehingga dihasilkan notasi output Q = (A.B) + (A+B), dimana merupakan notasi Boolean untuk Gerbang Ekxclusive-NOR.

Dengan kata lain, rangkaian diatas dapat diganti dengan gerbang Exclusive-NOR

2)     Sederhanakan Fungsi Boolean secara Aljabar (aksioma/teorema)

Jawab :

(a)   x y + x’ z + yz

F(x, y, z) = xy + x’ z + yz

                   = xy + x’ z + yz.1                                    (Identitas)

                   = xy + x’ z + yz (x+x’)                          (Komplemen)

                   = xy + x’ z + xyz + x’ yz                       (Distributif)

                   = xy + xyz + x’ z + x’ yz                       (Komutatif)

                   = xy (1 + z) + x’ z (1 + y)                   (Distributif)

                   = xy + x’ z                                                 (Identitas)

(b)   (x + y) (x’ + z) (y +z)             (dengan menggunakan prinsip dualitas dari fungsi (a) diatas)

F(x, y, z) = (x + y) (x’ +z) (y + z)

dari dual F = xy + x’ z + yz

maka b merupakan dualitas dari fungsi (a)

penyederhanaannya sama seperti fungsi (a)

3)     sederhanakan pernyataan logika berikut :

 4)     buatlah tabel kebenaran untuk fungsi logika pada titik C, D, dan Q pada sirkuit berikut serta indentifikasi gerbang logika tunggal yang dapat digunakan untuk mengganti seluruh rangkaian tersebut.

Jawab :

dari gambar rangkaian diatas dapat diketahui bahwa trdapat 3 gerbang yaitu gerbang NAND 2-input, gerbang EX-OR 2-input dan terakhir gerbang EX-NOR 2-input pada bagian output.

karena hanya ada 2 input ke sirkuit A dan B, maka ada 4 kemungkinan kombinasi input (2²) yaitu : 0-0, 0-1, 1-0 dan 1-1. berdasarkan kombinasi input tersebut maka akan dibuat tabel kebenaran

Dari tabel diatas, kolom C mewakili fungsi keluaran yang dihasilkan oleh gerbang NAND, sedangkan kolom D mewakili fungsi keluaran dari gerbang EX-OR. Dari kedua ekspresi output ini kemudian menjadi kondisi input untuk gerbang EX-NOR.

Dapat dilihat dari tabel kebenaran bahwa output di Q akan bernilai 1 apabila salah satu dari dua input A atau B berada di logika 1. Satu-satunya tabel kebenaran yang memenuhi kondisi ini yaitu tabel kebenaran gerbang OR. oleh karena itu, seluruh rangkaian diatas dapat diganti dengan gerbang OR 2 input.

5)     Sederhanakan fungsi Boolean f(x, y) = x + x’ y

Jawab :

f(x, y) = x + x’ y

 = (x + x’) (x + y) 

= 1. (x + y) 

= x + 1

2.      5 CONTOH SOAL HIMPUNAN DAN PENYELESAIANNYA 

1)     Jika diketahui A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {2, 3, 6, 7, 8}, C = {4, 5, 6, 7, 8}

Tentukanlah :

a.       A  ∩ B

b.       A  ∩ C

c.       B  ∩ C

d.       A  ∩ B ∩ C

Jawab :

a.       A  ∩ B = {2, 3}

b.       A  ∩ C = {4, 5}

c.       B  ∩ C = {6, 7, 8}

e.       A  ∩ B ∩ C = { }

2)     Diketahui semesta dari sebuah himpunan dan himpunan A sebagai berikut :

S = {x | 2 ≤ x ≤ 12}

A = { 3, 5, 7, 9, 11}

Tentukan komplemen dari himpunan A

 

Jawab :

Komplemen dari himpunan A adalah anggota semesta yang bukan anggota dari A. Sehingga:

A’ = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

3)     Diketahui :

K = {x | 5 x 9, maka x ialah bilangan asli}

L = {x | 7 x 13, maka x ialah bilangan cacah}

Maka tentukanlah hasil dari K ∪ L?

 

Jawab :

K = {5, 6, 7, ,8, 9}

L = { 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

Jadi, hasil dari K ∪ L = {5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

4)     Tulis dalam bentuk himpunan kata-kata berikut.

a.       NUSANTARA

b.       MATEMATIKA

Jawab :

a.       {N, U, S, A, T, R}

b.       {M, A, T, E, I, K}

5)     Diketahui :

S = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A = {1, 2, 3, 4, 5}

C = {6, 7, 8}

a.       tentukanlah A ∪ B

b.       Buatlah diagram Venn-nya

Jawab :

a.       A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} 

b.       Berikut adalah diagram Venn-nya 

3.      CONTOH KASUS PENGGUNAAN ALJABAR BOOLEAN & HIMPUNA DALAM KEHIDUPAN SEHARI-HARI 

1.       Aljabar Boolean

Dalam perkembangan teknologi informatika, matematika memberikan pengaruh tersendiri. Berbagai aplikasi dan program di komputer tidak lepas dari penerapa aplikasi matematika. Salah satu contohnya adalah Operasi Aljabar Boolean. Bahasa pemograman berprinsip pada logika, yaitu Aljabar Boolean. Sehingga, bahasa sesuatu yang ditampilkan dilayar komputer adalah penerjemahan dari bahasa pemograman yang bersumber dari aljabar Boolean. Bahkan, 0 dan 1 digunakan sebagai lambang dalam tombol switch on/off.

 

Penerapa Aljabar Boolean dalam Pemrograman :

DASAR OPERASI LOGIKA

LOGIKA :

Memberikan batasan yang pasti dari suatu keadaan, sehingga suatu keadaan tidak dapat berada dalam dua ketentuan sekaligus. Dalam logika dikenal aturan sebagai berikut :

Suatu keadaan tidak tepat dalam keduannya benar dan salah sekaligus.

Masing-masing adalah benar/salah.

Suatu keadaan disebut benar bila tidak salah.

Dalam Aljabar Boolean keadaan ini ditunjukkan dengan dua konstanta : LOGIKA 1 dan 0

2.       Himpunan

Dalam pengembangan software, himpunan diterapkan untuk relasi antar entitas dan data. Contohnya relational database. Relational database adalah basis data yang dimana setiap relation/table memiliki hubungan satu sama lain dan setiap data dinyatakan dalam sebaris per relation yang memiliki kolom sebagai atributnya. Berikut contoh realtion database:

Tabel Penduduk Negara XYZ

|ID KTP               | Nama                 |

_________________ | ________________  |

T001                    | JHON

T002                    | PETER

T003                    | KATE

Table MappingNassabahBankABC

|No Rek.              | ID KTP              |

_________________ | ________________ |

4567X                 | T003

8790X                 | T002

1023X                 | T001

Dapat dilihat bahwa satu orang dapat memiliki satu hingga banyak rekening di bank ABC atau tidak sama sekali. Jika direpresentasikan dalam himpunan maka akan terlihat seperti ini :

 

PendudukNegaraXYZ = {T001, JHON}, {T002, PETER}, {T003, KATE}}

 

MappingNasabahBankABC = {{4567X   , T003}, {8790X, T002}, {1023X, T001}}

 

PendudkNegaraXYZ ∩ MappingNasabahBankABC = {{ T001, JHON, 1023X}, { T002, PETER, 8790X}, { T003, KATE, 4567X}}

 

HimpunanPendudukNegaraXYZ dengan MappingNasabahBankABC diatas adalah berupa intersection dimana data yang termasuk himpunan tersebut harus ada di dua tabel tersebut. Hal ini sangat berguna dalam pengembangan software dimana himpunan digunakan untuk menormalisasi penyimpanan data untuk mencegah redudansi data.

TUGAS MANDIRI 1 – MATEMATIKA DISKRIT 1 KAMPUS ITBI MILENIAL

Nama       : IDE KRISTIANI ZEGA

Jurusan   : TEKNIK INFORMATIKA S1

Kelas       : PAGI

                SOAL :

1.      Tentukan apakah bilangan-bilangan berikut, merupakan bilangan prima atau komposit

a.       97

b.      126

c.       141

d.      153

e.       157

2.      Mengapa bilangan 0,1212….. merupakan bilangan rasional?

3.      Tentukan hasil PBB (45, 36)

4.      Berapakah hasil bagi dan sisa pembagian 1987 di bagi dengan 97?

PEMBAHASAN :

1.       Bilangan Prima adalah bilangan asli yang bernilai lebih dari 1 dan mempunyai 2 faktor pembagi yaitu 1 dan bilangan itu sendiri. Dari pengertian tersebut dapat dipahami bahwa angka 2 dan 3 termasuk bilangan prima, karena hanya bisa dibagi dengan angka satu dan angka itu sendiri. Sedangkan bilangan komposit adalah bilangan asli yang memiliki lebih dari 2 faktor, sehingga bilangan komposit dapat di bagi oleh bilangan lain selain angka 1 dan angka itu sendiri.

a.       97  (bilangan prima)

b.       126 (bilangan komposit)

c.       141 (bilangan komposit)

d.       153 (bilangan komposit)

e.       157 (bilangan prima)

2.       Bilangan rasional merupakan bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b merupakan bilangan bulat serta b ≠ 0

Bilangan 0,1212 dapat di nyatakan dalam bentuk a/b

Ingat bahwa :

0,abcabc… = abc/99

Jadi, 0,1212 = 12/99

12/99 = 4/33

3.       Hasil PBB dari (45, 36) :

Faktor pembagi 45 = 1, 3, 5, 9, 15, 45

Faktor pembagi 36 = 1, 2, 3, 4, 9, 12, 18, 36

Faktor pembagi bersama 45 dan 36 = 1, 3, 9

Hasil PBB (45, 36) = 9

4.       Hasil bagi dari 1987 di bagi dengan 97 = 20

Sedangkan sisa pembagiannya = 47