TUGAS MANDIRI 5 – MATEMATIKA DISKRIT 1 KAMPUS ITBI MILENIAL

Nama       : IDE KRISTIANI ZEGA

Jurusan   : TEKNIK INFORMATIKA S1

Kelas       : PAGI

Soal:

1.      Apakah yang dimaksud dengan metode pembuktian secara induksi matematika?

Jawab:

Induksi matematika adalah sebuah metode deduktif yang digunakan sebagai pembuktian pernyataan benar atau salah. Yang dimaksud dengan metode pembuktian secara induksi matematika adalah metode pembuktian untuk pernyataan perihal bilangan bulat atau dapat juga dipahami sebagai pembuktian dengan efek domino. Maksudnya, cara pembuktian kebenaran pada induksi matematika mengenai target utama secara tidak langsung (melalui perantara)

 

2.      Jelaskan langkah-langkah penyelesaian masalah menggunakan induksi matematika

Jawab:

Langkah-langkah penyelesaian masalah menggunakan induksi matematika

1)     Buktikan benar untuk n = 1

2)     Asumsikan benar untuk n = k,

3)     kemudian tunjukkan bahwa pernyataan benar untuk n = k+1

Penjelasan langkah-langkah pembuktian menggunakan metode induksi matematika dapat dijelaskan seperti berikut:

Pertama, pembuktian ditunjukkan benar untuk n yang mewakili angka 1. Ini syarat dasar yang harus dipenuhi untuk membuktikan pernyataan matematika menggunakan induksi matematika. Jika syarat pertama tidak dapat dipenuhi, maka tidak usah dilanjutkan ke langkah berikutnya karena sudah pasti pernyataan tersebut bernilai salah (rumus tidak terbukti benar). Jika terbukti benar untuk syarat pertama, selanjutnya adalah membuktikan benar untuk langkah selanjutnya, asumsikan benar (anggapan benar) untuk n = k. selanjutnya gunakan asumsi tersebut untuk membuktikan pernyataan benar untuk n = k + 1. Setelah terbukti benar untuk n = k + 1, kita dapat memahami bahwa jika nilai k diganti dengan angka 0 maka pernyataan akan sesuai dengan pernyataan pertama (terbukti benar untuk  n = 1). Selanjutnya, untuk k = 1 (nilai n = 2) juga akan benar karena sudah terbukti bahwa n = k + 1, maka n = 1+1 = 2 benar. Begitu seterusnya untuk nilai n lainnya, sehingga terbukti benar untuk semua n bilangan asli

3.      Buatlah 3 contoh pembuktian dengan induksi matematika

Jawab:

Contoh 1

Buktikan dengan induksi matematika bahwa : n² + 5n habis dibagi 2, untuk setiap n bilangan asli

Jawab:

Langkah 1

Untuk  n = 1

n² + 5n = 1² + 5.1 = 6 habis dibagi 2

Rumus atau teorema benar untuk n = 1

 

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga : k² + 5k habis dibagi 2

 

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1

(k + 1)² + 5(k  + 1)) = k² + 2k⁵ + 2k ­_­+ 1 + 5k + 5

= (k² + 5k) + (2k⁵ + 2k ­_­+5)

= (k² + 5k) + 2(k⁵ + k + 1)

Karena dari langkah 2 kita sudah anggap bahwa k² + 5k habis dibagi 2 dan

 2(k⁵ + k + 1) pasti habis dibagi 2,

Maka (k² + 5k) + 2(k⁵ + k + 1) pasti habis dibagi 2.

[benar]

 

Kesimpulan:

n² + 5n habis dibagi 2. [terbukti]

 

Contoh 2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 10ⁿ  + 2 habis dibagi 6

Jawab:

Langkah 1

Untuk n = 1

10¹ + 2 = 12 habis dibagi 6. Rumus atau teorema benar untuk n = 1

 

Langkah 2

Anggap bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k, sehingga :

10ᵏ + 2 habis dibagi 6

 

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa rumus atau teorema benar untuk n = k + 1.

10ᵏ⁺¹ + 2 = 10.10ᵏ + 2

= 10(10ᵏ + 2) – 12

Karena 10ᵏ + 2 habis dibagi 6, maka 10(10ᵏ + 2) pasti habis dibagi 6.

12 habis dibagi 6, berarti 10(10ᵏ + 2) – 12 habis dibagi 6.

[benar]

 

Kesimpulan:

10ⁿ + 2 habis dibagi 6. [terbukti]

 

Contoh 3

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 4ⁿ < 8ⁿ , untuk setiap n bilangan asli

Jawab:

Langkah 1

Untuk n = 1

4¹ < 8¹

4 < 8 

Teorema benar untuk n = 1

 

Langkah 2

Anggap bahwa teorema benar untuk n = k, sehingga : 4ᵏ < 8ᵏ

 

Langkah 3

Akan dibuktikan bahwa teorema benar untuk n = k + 1

4ᵏ⁺¹ < 8ᵏ⁺¹

4ᵏ⁺¹ = 4.4ᵏ

4ᵏ⁺¹ < 4.8ᵏ karena 4ᵏ < 8ᵏ

4ᵏ⁺¹ < 8.8ᵏ karena 4 < 8

4ᵏ⁺¹ < 8ᵏ⁺¹ [benar]

 

Kesimpulan:

4ⁿ < 8ⁿ [terbukti]